Родился в Тбилиси в семье Степана Шаумяна. В сентябре 1917г. Лев Степанович вступил в организацию рабочей молодежи при Бакинском комитете большевиков. Летом 1918 г. в боях с германо-турецкими интервентами был ранен. После временного падения советской власти в Баку в сентябре 1918 г. был арестован вместе с бакинскими комиссарами, содержался во многих тюрьмах. В 1919 г. вступил в ряды ВКП (б). В 1922-23 гг. учился в Коммунистическом университете им. Я.М. Свердлова. С 1924 г. Л.С. Шаумян на партийной работе в различных городах страны. С 1932 г. – ответственный редактор краевых и областных газет в Ростове-на-Дону, Челябинске, Ленинграде, Москве. В годы войны – ответственный редактор газеты «Уральский рабочий» (Свердловск). В 1948-49 гг. являлся членом редколлегии и ответственным секретарем «Литературной газеты».
С 1949 г. до конца жизни Л.С. Шаумян работал в издательстве «Советская энциклопедия, с 1959 г. являясь 1-м заместителем главного редактора БСЭ и председателя Научного совета издательства.
Лев Степанович явился одним из инициаторов выпуска дополнительного 51-го тома БСЭ, в котором опубликованы биографии многих старых большевиков, ставших жертвами политических репрессий в 30-40-е гг.
Л.С. Шаумян работал в оргкомиссиях 8-го и 9-го Всероссийских съездов Советов, 10-го и 11-го съездов партии, был делегатом 17-го съезда ВКП (б). Награжден орденом Ленина и другими орденами и медалями. Автор работ, посвященных 26-и бакинским комиссарам, и монографии о Камо.