Борис Александрович родился 2-го августа 1905 года в Бологое (под Петербургом) в семье Александровых Ксении Павловны и Александра Васильевича (позже известного композитора и создателя «Ансамбля песни и пляски Советской армии»). Музыка окружала Бориса с детства: отец сочинял музыку, дирижировал, занимался с учениками, играл на фортепьяно и на скрипке. Мать пела, обладая хорошим голосом. В 1913 году семья переехала в Тверь, где отец фактически встал во главе музыкальной жизни города, и восьмилетний Борис уже пел в хоре, которым руководил отец.
В 1918 году, когда А.В. Александров был приглашен преподавать в Московскую консерваторию, семья переехала в столицу, Борис поступил в детский хор Большого театра и стал принимать участие в оперных постановках. Потом было музыкальное училище и музыкальный техникум, появились первые собственные сочинения. Весной 1929 года Борис Александрович окончил композиторское отделение Московской консерватории и начал помогать отцу в работе с хоровыми группами ансамбля, основанного Александром Васильевичем в 1928 году. Кроме того, он в течение семи лет работал музыкальным руководителем Центрального театра Красной Армии. С 1937 года его жизнь и творчество неразрывно связаны с ансамблем, в котором он был первым заместителем отца, дирижером и композитором. В этом же году к нему пришел большой успех как к композитору. Написанная им всего за 30 дней оперетта «Свадьба в Малиновке» была поставлена в Москве, затем десятилетиями не сходила с афиш многих музыкальных театров страны, была экранизирована. Всего Борисом Александровым было создано семь оперетт, балет, десятки армейских песен.
Во время Отечественной войны в августе 1941 года солдаты, отъезжавшие на фронт с платформ Белорусского вокзала, впервые услышали только что написанную А.В. Александровым песню «Священная война». Оркестром тогда управлял сын композитора – дирижер Борис Александров. От Москвы до Берлина прошли с воинами и эта песня и Краснознаменный ансамбль. Более полутора тысяч раз выезжал коллектив на передовую, выступал бригадами перед солдатами. В самые тяжелые годы войны Б.А. Александров создает на радио ансамбль советской песни.
После смерти отца в 1946 году Борис Александрович в течение 40 лет (по 1987 год) продолжает его дело, успешно руководит ансамблем, носящим имя его отца – Александра Васильевича Александрова, получившим всеобщее мировое признание.
Борис Александрович – генерал-майор, Герой Социалистического труда, Лауреат Ленинской премии, народный артист СССР — умер 17 июня 1994 года.